close
تبلیغات در اینترنت
gl/l (1188)
loading...

دانلود فایل های آموزشی

رفتن به محتوا   gl/l (1188) مقدمه رياضيات زاييده اي احتياجات است. آنچه در قديمي ترين سند رياضي وجود دارد، با همه سادگي سير تكامل رياضيات در طي قرن ها بوده است. يونانيان پيشرفت علم را تند كردند و عصري به وجود آوردند كه شايسته عنوان «عصر طلايي» شد. در اين جا ابتدا پنج اصل از اصول…

gl/l (1188)

aaaa بازدید : 19 یکشنبه 16 مهر 1396 نظرات ()

 

gl/l (1188)

مقدمه

رياضيات زاييده اي احتياجات است. آنچه در قديمي ترين سند رياضي وجود دارد، با همه سادگي سير تكامل رياضيات در طي قرن ها بوده است. يونانيان پيشرفت علم را تند كردند و عصري به وجود آوردند كه شايسته عنوان «عصر طلايي» شد.

در اين جا ابتدا پنج اصل از اصول پئانو در رابطه با اعداد طبيعي را بيان مي كنيم و پس از آن به اختصار برخي دنباله ها را مورد بررسي قرار مي دهيم.

عددهاي طبيعي

عددهاي 0و 1و 2و 3 و… نوع اصلي اعداد را تشكيل مي دهند و اعداد طبيعي ناميده مي شوند. البته برخي صفر را جزء اين اعداد نمي دانند. تصوري كه بي درنگ از اعداد طبيعي در مغز ما پيدا مي‌شود. دستگاهي است كه به هر عدد آن از اين راه مي توان دست يافت كه از صفر شروع كنيم و هر چند بار لازم باشد 1 بيفزاييم. پئانو، دانشمند ايتاليايي، اولين كسي بود كه قوانين اصلي اعداد طبيعي را به صورت اصل موضوعي سازمان بخشيد.

مجموعه‌ي پنج اصل موضوعي او شايان توجه است. اصول پئانو را چنين مي توان بيان كرد :

صفر عددي است طبيعي

تالي (عدد بلافاصله بعد از) هر عدد طبيعي، عددي است طبيعي

هيچ دو عدد طبيعي متمايز يك تالي ندارند

صفر تالي هيچ عدد طبيعي نيست

اگر خاصه يي درباره‌ي صفر صادق باشد و اگر در صورت صادق بودن درباره‌ي يك عدد طبيعي در رابطه با تالي آن هم صدق كند، درباره‌ي همه‌ي اعداد طبيعي صادق خواهد بود.
از اصل ها مي توان نتيجه گرفت كه شماره‌ي اعداد طبيعي پاياني ندارد و اين رشته نه متوقف مي‌گردد و نه دور مي زند زيرا كه صفر تالي هيچ عددي نيست.
دنباله

كلمه‌ي دنباله در زبان روزمره براي بيان توالي اشياع و يا وقايعي به كار مي رود كه با ترتيبي آرايش يافته باشند. در رياضيات اين لغت معني فني خاصي دارد. لغت دنباله را به عنوان اصطلاحي مي گيرند كه يك مجموعه از اشيايي را مشخص مي كند، كه با ترتيبي آراسته شده اند كه هر عدد و يا جمله از آن با يك قانون يكسان به دنبال جمله‌ي قبلي مي آيد.

براي مثال : در يك مسابقه وزنه برداري، در حركت دو ضرب، (8) نفر شركت داشتند، و نفرات اول تا هشتم توانسته به ترتيب وزنه هاي زير را بلند كنند كه به صورت مجموعه از زوج هاي مرتب نشان مي دهيم :

اينك اعداد 5/237 و 230 و 240 و 225 و 220 و 200 و 215 و 210 را يك دنباله مي گوييم.

اين دنباله شامل (8) عدد است كه مربوط به 8 نفر وزنه بردار است. هر يك از وزنه برداران به يك عدد از دنباله بالا مربوط شده اند، مي توان گفت يك تناظر يك به يك بين نفرات وزنه بردار و وزنه هاي برداشته شده توسط آن ها وجود دارد، چون تعداد جمله هاي اين دنباله 8 تا است لذا به اين دنباله، دنباله‌ي متناهي مي گوييم، چنانچه تعداد جملات يك دنباله بي شمار باشد آن دنباله را دنباله نامتناهي مي گوييم.

جمله عمومي دنباله

– جمله‌ي (n) ام دنباله را با an نشان مي دهيم، اين جمله را جمله عمومي دنباله مي گوييم. اگر جمله‌ي عمومي يك دنباله معلوم باشد، همه‌ي جمله هاي دنباله از روي جمله عمومي دنباله با قراردادن ….و3و2و1 = n معلوم مي شوند.

مثلاً اگر جمله‌ي عمومي دنباله اي به صورت باشد. آن گاه مي توان نوشت :

در نتيجه اعداد … و و… و را يك دنباله با جمله‌ي عمومي مي‌ناميم.

– گاهي، دنباله را با يك رابطه بين جمله (n) ام و جمله (n-1) ام يا با يك رابطه بين جمله (n) ام و جملات قبل از آن تعريف مي كنند.

مثلاً دنباله : كه در آن

به همين ترتيب، كليه‌ي جملات دنباله مشخص مي‌شود.

رابطه را يك رابطه‌ي بازگشتي يا رابطه‌ي بازگشت مي گويند.

دنباله : براي به دنباله فيبوناتچي معروف است. در اين مورد هر جمله از جمع دو جمله‌ي ما قبل خود به دست مي آيد.

براي نمونه اگر بخواهيم ده جمله اول دنباله فيبوناتچي را بنويسيم :

تعريف : دنباله‌ي فيبوناتچي يك دنباله عددي است كه دو جمله‌ي اول آن 1 است و جمله‌ي پس از آن مجموع دو جمله‌ي قبل است.

اين دنباله منسوب است به فيبوناتچي، رياضيدان ايتاليايي كه در قرن سيزدهم ميلادي مي زيسته.

در نمونه‌ي بالا جمله‌ي سوم مجموع دو جمله‌ي اول و دوم، جمله‌ي چهارم مجموع دو جمله‌ي دوم و سوم و… است. اين ترتيب ها در پديده هاي طبيعي و مصنوعي به صورت اعجاب آميزي ظاهر مي شود.

دنباله و مفهوم حدّ

دنباله يكي از مفاهيم اساسي آناليز است. زيرا دنباله ها تابع هاي ساده اي هستند كه دامنه‌ي تعريف (حوزه تعريف) آنها مجموعه‌ي اعداد طبيعي يا قطعه اي از آن و برد آن ها زير مجموعه اي از اعداد حقيقي است. اما در عين حال اين تابع هاي ساده مي توانند مفهوم حدّ را دقيقاً نشان دهند.

تابع a با ضابطه را در نظر مي‌گيريم.

در اين تابع مي توان نوشت :

000

ملاحظه مي‌كنيم كه مجموعه‌ي برد اين تابع است.

دنباله هاي كراندار

اگر براي دنباله ، عدد حقيقي وجود داشته باشد كه به ازاي هر آن گاه دنباله را كراندار مي‌گوييم، در غير اين صورت دنباله را بي‌كران مي ناميم.

– عددحقيقيC را يك كران پايين دنباله گوييم، هرگاه به ازاي هرعدد داشته باشيم:

– عدد حقيقي d را يك كران بالاي دنباله مي گوييم، هرگاه به ازاي هر عدد داشته باشيم:

دنباله را وقتي كراندار گوييم كه هم از بالا و هم از پايين كراندار باشد.

براي مثال دنباله كراندار است زيرا كران پايين آن صفر و كران بالاي آن (4) است.

دنباله صعودي و نزولي

دنباله را صعودي مي‌گوييم اگر به ازاي هر ، و دنباله را صعودي اكيد مي‌گوييم اگر به ازاي هر ،

براي مثال: دنباله صعودي است، زيرا جمله‌هاي دنباله به صورت 1,1,2,2,3,3,4,4,… مي باشد.

دنباله را نزولي مي گوييم اگر به ازاي هر ، و دنباله را نزولي اكيد مي گوييم اگر به ازاي هر ،

براي مثال: دنباله ي نزولي است زيرا جمله هاي دنباله به صورت: 1,1,0,-2,-5,… مي باشد.

تصاعد عددي

يكي از دنباله هاي معروف دنباله اي است كه اصطلاحاً به آن تصاعد عددي مي گوييم و در آن هر جمله برابر است با جمله قبل به اضافه عددي ثابت. اين عدد ثابت را قدر نسبت گويند. و با حرف r يا d نشان مي دهند. ( يا r)

براي مثال: دنباله 3,7,11,15,… را در نظر مي گيريم، اين دنباله را يك تصاعد عددي مي گوييم كه در آن

در حالت كلي دنباله تصاعد عددي را به صورت زير نشان مي دهند.

جمله n ام جمله سوم جمله دوم جمله اول

تصاعد هندسي

دنباله اي است كه هر جمله ي آن از جمله ي اول به بعد برابر است با: جمله قبل ضربدر عدد ثابت.

اين عدد ثابت را قدر نسبت گوييم و آن را با حرف q نشان مي دهيم.

براي مثال: 2,6,12,24,48,…

در حالت كلي دنباله تصاعد هندسي را به صورت زير نشان مي دهيم:

لازم به ذكر است:

الف) علامت (+) در تصاعد عددي به صورت علامت (×) در تصاعد هندسي ظاهر مي شود.

ب) ضريب قدر نسبت در تصاعد عددي، به صورت توان قدر نسبت در تصاعد هندسي ظاهر مي‌شود. حال به دو رابطه زير دقت كنيد.

در تصاعد عددي: a2-a1=d

در تصاعد هندسي:

ج) بنابراين مي توان گفت كه علامت (- ) در تصاعد عددي به علامت تقسيم در تصاعد هندسي تبديل مي شود. خلاصه ي موارد الف، ب و ج:
تصاعد عددي تصاعد هندسي

+ ×

ضريب توان

– تقسيم

مقدمه

رياضيات زاييده ي احتياجات است. آنچه در قديمي ترين سند رياضي وجود دارد، با همه سادگي سير تكامل رياضيات در طي قرن ها بوده است. يونانيان پيشرفت علم را تند كردند و عصري به وجود آوردند كه شايسته ي عنوان «طلايي» شد.

در اين جا ابتدا پنج اصل از اصول پئاتو در رابطه با اعداد طبيعي را بيان مي كنيم و پس از آن به اختصار برخي دنباله ها را مورد بررسي قرار مي دهيم.

 


ارسال نظر برای این مطلب

نام
ایمیل (منتشر نمی‌شود) (لازم)
وبسایت
:) :( ;) :D ;)) :X :? :P :* =(( :O @};- :B /:) :S
نظر خصوصی
مشخصات شما ذخیره شود ؟ [حذف مشخصات] [شکلک ها]
کد امنیتی
تبلیغات
Rozblog.com رز بلاگ - متفاوت ترين سرويس سایت ساز
اطلاعات کاربری
نام کاربری :
رمز عبور :
  • فراموشی رمز عبور؟
  • آرشیو
    آمار سایت
  • کل مطالب : 20
  • کل نظرات : 0
  • افراد آنلاین : 1
  • تعداد اعضا : 0
  • آی پی امروز : 4
  • آی پی دیروز : 3
  • بازدید امروز : 6
  • باردید دیروز : 5
  • گوگل امروز : 0
  • گوگل دیروز : 0
  • بازدید هفته : 19
  • بازدید ماه : 24
  • بازدید سال : 24
  • بازدید کلی : 24